実際

　ここでも回答したのですが、半径aの円に内接する正n角形の対角線の長さを求める式。その中でn角形の対角線の平均値はどうかという質問があったので、ちょっと考えてみました。
　というかいきなり収束値を考えてしまう辺りがなんともいえないのですが、まずn角形のnが無限に近づくと円になると前提をおきます。この場合、ある1点から対角線すべて引くと、ほぼ「円を塗りつぶす状態」に近くなるかと考えます。そうなるとある点からの対角線の総和は「円の面積」と考えてよいでしょう*1。
　次にこの対角線の頂点の数も考えます。無数に引かれているのですからこれは円周分あると考えてしまいます。そうすると平均値は と求められます。
　なんか違う気がしてきた…。離散的な話から連続に置き換えた時点でヤバイな…(汗

　では、n角形の対角線の平均値を求める一般式はというと、おそらく「Σ」あたりを使えば何とかなるかと…。

*1:理想的な線分で幅がないのだったらすべてが破綻しますが…